Toán lớp 10,11: Ứng dụng xác suất, thống kê vào cuộc sống (P1)

Xác suất thống kê là một môn có ứng dụng to lớn trong cuộc sống chúng ta. Ngày nay trong thời đại công tin, với số lượng dữ liệu khổng lồ chưa từng có, nên xác suất thống kê càng phát huy tác dụng của nó. Tuy nhiên, các kiến thức liên quan đến xác suất thống kê trong chương trình phổ thông lại bị phớt lờ. Trong khi đó các môn như tích phân, số phức, ... lại được chú trọng, do được đưa vào chương trình thi đại học (không phải tôi nói các môn này không quan trọng, nhưng các môn này chỉ nên dành cho các bạn sao này muốn đi chuyên về ngành khoa học tự nhiên).

Vì thế, tôi hy vọng sao các bài viết về tính ứng dụng của xác suất, thống kê vào cuộc sống, sẽ giúp tiếp thêm ngọn lửa đam mê. Giúp các bạn có thể tìm hiểu thêm về một môn học rất hữu ích cho chúng ta. Chú ý với các bạn là: hầu như ngành học nào của đại học cũng học về xác suất thống kê.
Trước khi nêu ra các ứng dụng của nó, chúng ta cũng cần điểm qua một số khái niệm cơ bản về xác suất, thống kê, để có thể dễ dàng hình dung về nó.

Xác suất là gì

Hầu như mọi người đều biết đến khái niệm xác suất. Ví dụ như khi nói đến mua vé số, thì ai cũng biết xác suất trúng là rất thấp, hay xác suất mình lên bảng trả bài trong 1 lớp học đông là không cao :D. Nhưng không phải ai cũng hiểu rõ bản chất của nó. Nói 1 cách ngắn gọn, xác suất của một tình huống nào đó chính là khả năng xảy ra của tình huống đó.

Thống kê là gì

Thống kê học là hệ thống các phương pháp dùng để thu thập, xử lý và phân tích các con số của hiện tượng để tìm hiểu bản chất và tính quy luật vốn có của chúng trong điều kiện thời gian và không gian cụ thể.

Ứng dụng của xác suất, thống kê trong đời sống hằng ngày

Bài toán 1: Có nên mua mua số đề không hay không?

Đánh đề hiện nay là một vấn nạn trong xã hội, vậy đánh đề được lời hay được lỗ mà nhiều người lại đam mê đến vậy? Chúng ta hãy thử dùng phương pháp xác suất, thống kê để giải thích nhé.

Luật chơi đề như sau: Bạn đặt một số tiền, nói đơn giản là X (đồng) vào một số từ 00 đến 99. Mục đích của người chơi đề là làm sao số này trùng vào 2 chữ số cuối cùng của giải xổ số đặc biệt do Nhà nước phát hành trong ngày đó. Nếu số của bạn trùng, bạn sẽ được 70x (đồng) (tức 70 lần số tiền đầu tư). Nếu không trúng, bạn sẽ mất x(đồng) đặt cược lúc đầu.

Quan niệm sai lầm: Rất nhiều người nghĩ như sau. Nếu bỏ ra số tiền là 100.000 đồng để chơi đề. Nếu trúng là sẽ được 7 triệu đồng tức là lời được 6,9 triệu. Tuy nhiên, nếu thua chỉ có bị lỗ là 100.000 đồng. Quá lời!!! Vậy đâu là sai lầm trong cách nghĩ này.

Câu trả lời là, các bạn không tính đến xác suất trúng có lớn hay không, vì khi xác suất nhỏ, bạn sẽ đánh hoài mà không thắng. Có nghĩa là bạn luôn bị lỗ. Vậy lời giải đúng sẽ được trình bày như sau.

Lời giải: 

- Vì có 1 số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là: 1/100= 1%.

   Nên xác suất bạn thua là 1 - 1%= 99%.
- Tóm tắt:

	THẮNG	THUA
XÁC SUẤT	1%	99%
LỜI	6.900.000	-100.000
TRUNG BÌNH	69.000	-99.000	-30.000

- Như vậy mỗi lần chơi 100.000 đồng, trung bình bạn sẽ lỗ khoản 30 ngàn đồng.

Bàn luận thêm: Với cách làm tương tự bạn cũng sẽ giải thích được các vấn đề như mua vé số, chơi bầu cua cá cọp, chơi bài,...

Bài toán 2: Chia giải thưởng như thế nào cho công bằng

Hai đối thủ ngang tài nhau, cùng chơi 1 trận đấu đủ tranh chức vô địch. Người thắng cuộc là người đầu tiên thắng được 6 ván đấu. Tuy nhiên vì lý do bất khả kháng trò chơi phải dừng lại và không được tiếp tục nữa. Khi đó, người I đã thắng 5 ván, còn người II chỉ mới thắng 3 ván. Vậy phải phân chia phần thưởng như thế nào là hợp lý?

Quan niệm sai lầm: 
- Có người cho rằng, nên chia giải thưởng theo tỉ lệ 5:3, vì theo như tỉ lệ thắng của người chơi.
- Ý kiến khác chi theo 2:1, vì người I hơn người II 2 trận, mà 2 trận là 1/3 của 6 trận, nên người I nhận 1/3 giải, còn lại chia đôi (tức là người I và II nhận thêm 1/3 giải). 
Nhưng các lý giải trên điều sai. Tại vì chúng ta cần phải chia giải thưởng theo khả năng thắng thua của 2 đấu thủ. Có nghĩa là nếu xác suất người I thắng cao thì người I sẽ được nhận quà nhiều. Cụ thể như sau:

Lời giải:
Vậy câu hỏi đặt ra là xác suất thắng của người I là bao nhiêu.
Nghe có vẻ phức tạp, nhưng sẽ rất đơn giản nếu chúng ta tính xác suất người I thua, tức là xác suất người II thắng là bao nhiêu.
- Mà khả năng người II thắng chỉ có 1 khả năng là thắng liên tiếp 3 trận tiếp theo. Như ta biết mỗi trận có 2 khả năng xảy ra là người II thắng hoặc thua. Nên tổng khả năng 3 trận là 2.2.2 = 8 trường hợp.
- Vậy xác suất người II thắng là: 1/8.
- Suy ra, xác suất người I thắng là 1 - 1/8 = 7/8.
Tóm lại, phải chia phần thưởng theo tỉ lệ là 7:1 là hợp lý nhất.

Bài toán 3: Đếm số cá trong hồ

Đây là bài toán thường ngày của những người ngư dân nuôi cá. Sau khoảng thời gian nuôi cá, họ muốn biết xem số cá hiện có trong hồ của họ là bao nhiêu để có những kế hoạch nuôi đúng cách. Tuy nhiên, vấn đề đặt ra là không thể bắt hết cá lên bờ, rồi sau đó đếm thủ công được, sẽ ảnh hưởng không tốt đến nó.

Lời giải:

Các bước thực hiện như sau:

- B1: Bắt một lượng n cá lên, giả sử n = 50, rồi đánh dấu chúng sau đó thả lại vào hồ.

- B2: Bắt đại một lượng cá lên, rồi tính tỉ lệ p là số lượng cá được đánh dấu. Ví dụ: Bắt 20 con cá, thấy 2 con có đánh dấu, tứng là p = 2/20 = 10%.

- B3: Ước lượng tổng số cá là n/p. Như ví dụ trên là 50/10% = 500 con cá.

Trên thực tế, số cá phân bố không đều lắm nên ngư dân phải thực hiện ước lượng số cá như trên 1 vài lần, sau đó tính trung bìnhh lại, lúc đó kết quả mới chính xác hơn.

Bàn luận thêm: 

Cách làm trên là ước lượng tỷ lệ số cá được đánh dấu, tuy nhiên còn 1 số vấn đề để suy ngẫm như:

- Bắt bao nhiêu con cá lên để đánh dấu.

- Chọn mẫu cá lên bao nhiêu để tính tỉ lệ.

- Ước lượng trên chính xác được bao nhiêu phần trăm.

Nếu các bạn muốn nghiên cứu sâu hơn, các bạn có thể tìm các tài liệu xác suất thống kê ở bậc đại học, phần ước lượng, sẽ cung cấp cho bạn phương pháp ước lượng chính xác hơn.

Ngoài ra, việc ước lượng cũng thường xuyên được dùng trong thực tế như: Tính chiều cao trung bình của người Việt Nam, Ước lượng tỷ lệ bầu cử trước khi ứng cử, điều tra dân số, kiểm tra chất lượng sản phẩm ,...

TO BE CONTINUE (Phần 2 ở đây)